Question

9．如图，Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O是AC边上的中点，P为AC边上一动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC于E．
（1）求证：BO=PE；
（2）设AC=10，CE=x，△ABP的面积为y，求y与x的关系．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠2=∠PBD，由等腰直角三角形的性质得到∠C=45°，推出∠1=∠C=45°，由∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，得到∠3=∠4，推出△BPO≌△PDE（AAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到BO=$\frac{1}{2}$AC，于是求得BO=PE=$\frac{1}{2}$AC=5，推出AP=10-5-x，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BOP=∠PED}\\{BP=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS），
∴BO=PE；

（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，O是AC边上的中点，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC，
∵BO=PE，AC=10，
∴BO=PE=$\frac{1}{2}$AC=5，∵CE=x，
∴AP=10-5-x，
∴y=$\frac{1}{2}$AP•BO=$\frac{1}{2}$（5-x）×5，
∴y与x的关系为：y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，得出∠3=∠4是解题关键．