Question

20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-3），A点的坐标为（-1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，
求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；
（3）若Q为抛物线对称轴上一动点，直接写出使△QBC为直角三角形的点Q的
坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、C两点坐标代入可求得b、c的值，可求得二次函数的解析式；
（2）由抛物线解析式可求得B点坐标，由B、C坐标可求得直线BC解析式，可设出P点坐标，用P点坐标表示出四边形ABPC的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P点坐标；
（3）由抛物线解析式可求得其对称轴，则可设出Q点的坐标，则可表示出QB²、QC²和BC²，分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，分别根据勾股定理得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点的坐标．

解答 解：
（1）∵A（-1，0），C（0，-3）在y=x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-b+c=0\\ c=-3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x-3；

（2）在y=x²-2x-3中，令y=0可得0=x²-2x-3，解得x=3或x=-1，
∴B（3，0），且C（0，-3），
∴经过B、C两点的直线为y=x-3，
设点P的坐标为（x，x²-2x-3），如图，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，与直线BC交于点E，则E（x，x-3），

∵S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BCP=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（3x-x²）×3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x+6=$-\frac{3}{2}{（{x-\frac{3}{2}}）^2}+\frac{75}{8}$，
∴当$x=\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积最大，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∴四边形ABPC的最大面积为$\frac{75}{8}$；

（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴对称轴为x=1，
∴可设Q点坐标为（1，t），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BQ²=（1-3）²+t²=t²+4，CQ²=1²+（t+3）²=t²+6t+10，BC²=18，
∵△QBC为直角三角形，
∴有∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，
①当∠BQC=90°时，则有BQ²+CQ²=BC²，即t²+4+t²+6t+10=18，解得t=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，此时Q点坐标为（1，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）或（1，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）；
②当∠CBQ=90°时，则有BC²+BQ²=CQ²，即t²+4+18=t²+6t+10，解得t=2，此时Q点坐标为（1，2）；
③当∠BCQ=90°时，则有BC²+CQ²=BQ²，即18+t²+6t+10=t²+4，解得t=-4，此时Q点坐标为（1，-4）；
综上可知Q点的坐标为（1，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）或（1，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）或（1，2）或（1，-4）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点坐标表示出四边形ABPC的面积是解题的关键，在（3）中用Q点坐标分别表示出BQ和CQ的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．