Question

13．如图所示，在等边△OAB中，OB=4，点A在第一象限．
（1）点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）在坐标平面内存在3个点C，使得以A、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形；
（3）在（2）的条件下，若点C为第一象限的点，且点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，点Q从点B同时出发，以同样的速度沿射线BC的方向移动，试判断△APQ的形状；
（4）当△APQ周长最小时，求出直线PQ的关系式．

Answer 1

分析 （1）过A作AF⊥OB于点F，由等边三角形的性质可求得OF和AF的长，可求得A点坐标；
（2）有三种情形，根据（1）中结果，直接写出答案即可．
（3）结论：△APQ是等边三角形．只要证明△AOP≌△BAQ，即可推出AP=AQ，∠OAP=∠BAQ，推出∠PAQ=∠OAB=60°．
（4）当AP⊥OB时，△APQ的周长最小，求出P、Q的坐标利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作AF⊥OB于F．

∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠AOF=60°，
在Rt△AOF中，∵∠AFO=90°，
∴∠OAF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2，AF=OA•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴点A的坐标为（2，2$\sqrt{3}$）．

（2）如图2中，

当点C的坐标为（6，2$\sqrt{3}$）或（-2，2$\sqrt{3}$）或（2，-2$\sqrt{3}$）时，以A、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形；
故答案为3．

（3）结论：△APQ是等边三角形．理由如下，
如图3中，

∵△AOB，△ABC都是等边三角形，
∴OB=AB，∠AOP=∠ABQ=∠OAB=60°，
∵OP=BQ，
在△AOP和△ABQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=BA}\\{∠AOP=∠ABQ}\\{OP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BAQ，
∴AP=AQ，∠OAP=∠BAQ，
∴∠PAQ=∠OAB=60°，
∴△APQ是等边三角形．

（4）如图3中，∵当AP⊥OB时，△APQ的周长最小，
∴OP=PB=2，BQ=OP=CQ=2，
∴P（2，0），Q（5，$\sqrt{3}$），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{5k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．