题目内容
17．已知抛物线的顶点（2，6），与y轴交于点A（0，2），点E是对称轴与x轴的交点，点B（n，0）是x轴上的动点，点B绕点A逆时针旋转90°得到点D，四边形ABCD是以AB、AD为边的正方形．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点B在x轴负半轴上，当抛物线经过正方形顶点C时，求n的值；
（3）点B在x轴正半轴上，
①如图2，当0＜n＜2时，试猜想线段OB与CE的数量关系并证明你的猜想；
②如图3，当抛物线经过正方形的顶点D时，请直接写出sin∠DCE的值．
分析 （1）由题意设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+6，把点A（0，2）代入求出a即可．
（2）如图1，过点C作CH垂直于x轴，H为垂足．△AOB≌△CHB，推出点C的坐标为（n+2，n），由抛物线经过点C（n+2，n），列出方程即可解决问题．
（3）①如图2，当0＜n＜2时，过点C作CH垂直于x轴，H为垂足．由（2）可知△AOB≌△CHB，推出BH=AO=2，CH=BO=n，由点E的坐标为（2，0），推出OH=OB+BH=n+2，EH=OH-OE=n+2-2=n，推出CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{2}$n，由此即可解决问题．
②如图3，分别过点C、D作CH垂直于x轴，DF垂直于y轴，H、F均为垂足．根据S△DCE=$\frac{1}{2}$•DE•EH=$\frac{1}{2}$•DC•CE•sin∠DCE，求出相关线段即可解决问题．
解答 解：（1）∵抛物线的顶点为（2，6），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+6，
∵抛物线经过点A（0，2），
∴4a+6=2，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x+2．
（2）如图1，过点C作CH垂直于x轴，H为垂足．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠HCB=90°-∠HBC=90°=∠ABO，
在△AOB和△CHB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{∠HCB=∠ABO}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CHB，
∴BH=AO=2，
∴CH=BO=-n，（n＜0）
∴OH=BO-BH=-n-2，
∴点C的坐标为（n+2，n）．
∵抛物线经过点C（n+2，n），
∴-（n+2）2+4（n+2）+2=n，
即n2+n-6=0，
∴（n+3）（n-2）=0，
解得n=-3或n=2（舍去），
∴n的值为-3．
（3）①如图2，当0＜n＜2时，过点C作CH垂直于x轴，H为垂足．
由（2）可知△AOB≌△CHB，
∴BH=AO=2，CH=BO=n，
∵点E是对称轴与x轴的交点，
∴点E的坐标为（2，0），
∴OH=OB+BH=n+2，
∴EH=OH-OE=n+2-2=n，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{n}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{2}$n，
∴CE=$\sqrt{2}$OB．
②如图3，分别过点C、D作CH垂直于x轴，DF垂直于y轴，H、F均为垂足．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠DAB=∠ABC=90°，
∵∠FDA+∠FAD=90°，∠OAB+∠FAD=180°-∠DAB=180°-90°=90°，
∴∠FDA=∠OAB，
∴△FAD≌△OBA，
∴FD=OA=2，AF=OB=n，
∵点D在抛物线上，
∴点D为抛物线的顶点，
∴OF=DE=6，n=AF=OF-OA=6-2=4，
同理可证，BH=OA=2，CH=OB=n=4，OH=OB+BH=n+2=4+2=6，EH=OH-OE=6-2=4，
∴CD=AD=$\sqrt{A{F}^{2}+F{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S△DCE=$\frac{1}{2}$•DE•EH=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵S△DCE=$\frac{1}{2}$•DC•CE•sin∠DCE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{2}$×sin∠DCE=4$\sqrt{10}$sin∠DCE，
∴4$\sqrt{10}$sin∠DCE=12，
∴sin∠DCE=$\frac{12}{4\sqrt{10}}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{10}$．
点评 本题考查二次函数综合题、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
| A． | $\left\{\begin{array}{l}x+y=35\\ 18x+24y=750\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}x+y=35\\ 24x+18y=750\end{array}\right.$ | ||
| C． | $\left\{\begin{array}{l}x-y=35\\ 24x-18y=750\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}x-y=35\\ 18x-24y=750\end{array}\right.$ |
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠B=135°，则$\widehat{AC}$的长（ ）| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | π | C． | $\frac{3}{2}π$ | D． | 2π |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{10}$ | D． | $\frac{1}{13}$ |
如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，线段BE与DC有怎样的数量关系？请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．