Question

18．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（　　）
①∠CBD=∠CEB；②$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$；③点F是BC的中点；④若$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正确，运用圆周角定理以及等角的余角相等即可解决问题．
②正确，运用△EBC∽△BDC即可证明．
③错误，运用反证法来判定．
④正确，设BC=3x，AB=2x，得出OB、OD及OC、CD的值，运用$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$即可解决问题．

解答 证明：（1）∵BC⊥AB于点B，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
故①正确．
（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴△EBC∽△BDC，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$，
故②正确，
（3）∵∠EBD=∠BDF=90°，
∴DF∥BE，
假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，
∴ED=DC，
∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，
∴DC不一定等于ED，
故③是错误的．
（4）∵$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{2}$，
设BC=3x，AB=2x，
∴OB=OD=x，
∴在RT△CBO中，OC=$\sqrt{10}$x，
∴CD=（$\sqrt{10}$-1）x
∵由（2）知，$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{CB}$
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{BC}$=$\frac{（\sqrt{10}-1）x}{3x}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
∵tanE=$\frac{BD}{BE}$
∴tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
故④正确．
故选：C．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及相似三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数定义等知识点，解题的关键在于灵活应用这些知识解决问题，通过求证三角形相似根据对应边成比例的性质求出tan∠E的值，属于中考压轴题．