Question

6．如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．

Answer 1

分析 连接BE，根据已知条件先证出∠BCE=∠ACD，根据SAS证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，再根据勾股定理求出AB，然后根据∠BAC=∠CAE=45°，求出∠BAE=90°，在Rt△BAE中，根据AB、AE的值，求出BE，从而得出AD．

解答 解：如图，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6$\sqrt{2}$，AE=3，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{81}$=9，
∴AD=9．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，证出△ACD≌△BCE．