Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）E是底边BC的延长线上一点，M是BE的中点，连接DE、DM．若CE=CD，求证：DM⊥BE．

Answer 1

分析 （1）以点B为圆心，适当的长为半径作弧，交∠ABC于两点，分别以这两点为圆心，适当的长为半径画弧，交于一点，最后过该点与点B作射线，交AC于点D即可；
（2）先根据角平分线的定义以及三角形外角性质，求得∠E=∠DBC，进而得出BD=DE，再根据M是BE的中点即可得出结论．

解答 解：（1）如图所示，射线BD即为所求；


（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠E=∠DBC，
∴BD=DE，
又∵M是BE的中点，
∴DM⊥BE．

点评 本题主要考查了基本作图的运用以及等腰三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．