Question

6．如图，分别以点A和点C为直角顶点，以AC为直角边，在AC的左右两侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ACE，延长线段AE至点F，使得AF=CE，连接BF交AC于H，交CE于G，连接AG．下列结论：①BF平分∠ABC；②AG=HG=GF；③EG=EF；④AB=BC+CH；⑤S_△AGC=S_{四边形AHGE}．正确的有（　　）个．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=AE，∠ACB=∠CAE=90°，∠ABC=∠ACE=45°，得出AE∥BC，证出四边形ABCE是平行四边形，得出AB=CE，AB∥CE，证出AF=AB，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠AFB，即可BF平分∠ABC，①正确；
由平行线的性质得出∠EGF=∠ABF，得出∠EGF=∠EFG，因此EG=EF，③正确；
证出AE=CG=AC，由等腰三角形的性质得出∠CAG=∠CGA=67.5°，由对顶角相等得出∠AHG=∠BHC=67.5°=∠CAG，得出AG=HG，同理：AG=GF，即可得出②正确；
由ASA证明△CHG≌△EGA，得出CH=EG，△CHG的面积=△EGA的面积，因此S_△AGC=S_{四边形AHGE}，⑤正确；
由AB=CE=CG+EG，CG=AC=BC，即可得出④正确；即可得出结论．

解答 解：∵△ABC和△ACE是等腰直角三角形，
∴BC=AC=AE，∠ACB=∠CAE=90°，∠ABC=∠ACE=45°，
∴AE∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，∠AFB=∠CBF，
∴AB=CE，AB∥CE，
∵AF=CE，
∴AF=AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，
即BF平分∠ABC，①正确；
∵AB∥CE，
∴∠EGF=∠ABF，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EG=EF，③正确；
∵AF=CE，
∴AE=CG=AC，
∴∠CAG=∠CGA=67.5°，
∵∠AHG=∠BHC=90°-22.5°=67.5°=∠CAG，
∴AG=HG，
同理：AG=GF，
∴AG=HG=GF，②正确；
在△CHG和△EGA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCH=∠AEG=45°}&{\;}\\{CG=AE}&{\;}\\{∠CGH=∠EAG=22.5°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CHG≌△EGA（ASA），
∴CH=EG，△CHG的面积=△EGA的面积，
∴S_△AGC=S_{四边形AHGE}，⑤正确；
∵AB=CE=CG+EG，CG=AC=BC，
∴AB=BC+CH，④正确，
正确的有5个，
故选：D．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题④和⑤的关键．