Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，∠ACD=120°．
（1）求证：AC=CD；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC，结合切线的性质和条件可求得∠A=∠D=30°，可证明AC=CD；
（2）由（1）结合条件直角三角形的性质可求得CD，可求得△OCD和扇形OCB的面积，可求出阴影部分的面积．

解答： （1）证明：如图，连接CO，

∵CD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCA=∠OAC=30°，∠ADC=30°，
∴∠A=∠D，
∴AC=CD；
（2）解：由（1）知∠OCD=90°，∠ADC=30°，∠COD=60°，
∴OD=2OC=4，CD=2

3

，
∴S_△OCD=

1

2

CD•OC=2

3

，S_扇形OCB=

60πOC2

360

=

2π

3

，
∴S_阴影=2

3

-

2π

3

．

点评：本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．在（1）中注意OA=OC的运用，在（2）中先求得CD是解题的关键．