Question

4．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的序号是④．
①当x=3时，EC＜EM；               ②当y=9时，EC＞EM
③当x增大时，EC•CF的值增大         ④当y增大时，BE•DF的值不变．

Answer 1

分析 由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图象得反比例解析式为y=$\frac{9}{x}$；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直角三角形的性质得CE=3$\sqrt{2}$，CF=3$\sqrt{2}$，则C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以EF=10$\sqrt{2}$，而EM=5$\sqrt{2}$；由于EC•CF=$\sqrt{2}$x×$\sqrt{2}$y；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值．

解答 解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；
观察反比例函数图象得x=3，y=3，则反比例解析式为y=$\frac{9}{x}$；
①、当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以CE=$\sqrt{2}$BC=3$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{2}$CD=3$\sqrt{2}$，C点与M点重合，则EC=EM，所以①错误；
②、当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=$\sqrt{2}$，EF=10$\sqrt{2}$，EM=5$\sqrt{2}$，所以②错误；
③、因为EC•CF=$\sqrt{2}$x•$\sqrt{2}$y=2×xy=18，所以，EC•CF为定值，所以③错误；
④、因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以④正确．
故答案为：④．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．