月电科技有限公司用160万元.作为新产品的研发费用.成功研制出了一种市场急需的电子产品.已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件.在销售过程中发现:每年的年销售量y与销售价格x的关系如图所示.其中AB为反比例函数图象的一部分.BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s．(注:若上一年盈� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．

分析（1）依据待定系数法，即可求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）分两种情况进行讨论，当x=8时，s_max=-80；当x=16时，s_max=-16；根据-16＞-80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为-16万元．
（3）根据第二年的年利润s=（x-4）（-x+28）-16=-x²+32x-128，令s=103，可得方程103=-x²+32x-128，解得x₁=11，x₂=21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x（元/件）的取值范围．

解答解：（1）当4≤x≤8时，设y=$\frac{k}{x}$，将A（4，40）代入得k=4×40=160，
∴y与x之间的函数关系式为y=$\frac{160}{x}$；
当8＜x≤28时，设y=k'x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{8k'+b=20}\\{28k'+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k'=-1}\\{b=28}\end{array}\right.$，
∴y与x之间的函数关系式为y=-x+28，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{160}{x}（4≤x≤8）}\\{-x+28（8＜x≤28）}\end{array}\right.$；

（2）当4≤x≤8时，s=（x-4）y-160=（x-4）•$\frac{160}{x}$-160=-$\frac{640}{x}$，
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x=8时，s_max=-$\frac{640}{8}$=-80；
当8＜x≤28时，s=（x-4）y-160=（x-4）（-x+28）-160=-（x-16）²-16，
∴当x=16时，s_max=-16；
∵-16＞-80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为-16万元．

（3）∵第一年的年利润为-16万元，
∴16万元应作为第二年的成本，
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s=（x-4）（-x+28）-16=-x²+32x-128，
令s=103，则103=-x²+32x-128，
解得x₁=11，x₂=21，
在平面直角坐标系中，画出s与x的函数示意图可得：

观察示意图可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．

点评本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．