Question

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y=2x向下平移4个单位后与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点P，则k=2；△POA的面积为2．

Answer 1

分析 根据直线y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点A（m，2），可以求得m的值和k的值，从而可以求得反比例函数的解析式，由直线y=2x向下平移4个单位可以得到平移后的函数解析式，从而可以求得点P的坐标，进而求得OP的函数解析式，然后根据点A的坐标，从而可以得到△POA的面积．

解答 解：∵y=2x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象交于点A（m，2），
∴2=2x，得x=1，
∴m=1，
∴2=$\frac{k}{1}$，得k=2，
直线y=2x向下平移4个单位后的函数解析式为y=2x-4，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+1}\\{y=2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}+1}\\{y=-2\sqrt{2}-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴点P的坐标为（$\sqrt{2}+1$，$2\sqrt{2}-2$），
设OP对应的函数解析式为y=ax，
$2\sqrt{2}-2=a×（\sqrt{2}+1）$，
得a=6-4$\sqrt{2}$，
∴OP对应的函数解析式为y=（6-4$\sqrt{2}$）x，
当x=1时，y=（6-4$\sqrt{2}$）×1=6-4$\sqrt{2}$，
∴△POA的面积是：$\frac{2-（6-4\sqrt{2}）}{2}×（\sqrt{2}+1）$=2，
故答案为：2，2．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象与几何变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．