Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于G，AC的垂直平分线交BC于E，交AC于F，且BD=DE．
求证：∠BAC=120°．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：连结AD、AE，根据线段垂直平分线的性质得DA=DB，EA=EC，则根据等腰三角形的性质得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，由三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，则∠ADE=2∠B，∠AEC=2∠C，由AB=AC得到∠B=∠C，所以∠ADE=∠AED，则AE=AD，加上BD=DE，可判断△ADE为等边三角形，
所以∠ADE=60°，易得∠B=30°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BAC的度数．

解答：证明：连结AD、AE，如图，

∵DG垂直平分线AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
∵EF垂直平分线AC，
∴EA=EC，
∴∠C=∠CAE，
而∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，
∴∠ADE=2∠B，∠AEC=2∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD，
∵BD=DE，
∴AD=DE=AE，
∴△ADE为等边三角形，
∴∠ADE=60°，
∴∠B=30°，
∴∠BAC=180°-2×30°=120°．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．