Question

(1)如图（1）， 四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC.

(2) 如图（2），四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD=120°，证明：PA+PD+PC≥BD

 

Answer 1

【答案】

见解析

【解析】

试题分析：（1）要证BC+DC=AC，延长BC到E，使CE=CD，则求AC=BE即可．由AB=AD，∠ABD=60°，连接BD后得△ABD是等边三角形，进而得∠ADB=60°，AD=BD，又有，∠BCD=120°，则△DCE是等边三角形，所以得△ACD≌△BDE，则AC=BE=BC+CD．

（2）由题（1）的结论则PB=QC=PA+PC，在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD，

（1）证明：连接BD，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE

∵AB=AD，∠ABD=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ADB=60°，AD=BD，

又∵∠BCD=120°CE=CD，

∴∠DCE=180°-∠BCD=60°，

∴△DCE是等边三角形，

∴∠CDE=∠ADB=60°，DC=DE，

∴∠ADC=∠BDE，

又∵AD=BD，

∴△ACD≌△BDE，

∴AC=BE=BC+CE，

即AC=BC+CD；

（2）把线段AP绕点A逆时针旋转60度，到AQ．连接AC、PQ，

∴AP=AQ，△APQ为正三角形，

∴∠QAP=60°，QP=AP，

∵AB=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC为正三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∴∠ABC+∠PAC=∠QAP+∠PAC，即∠QAC=∠PAB，

△ABP≌△ACQ（SAS），

PB=QC=PA+PC，

在△PDB中，PB+PD≥BD，即PA+PC+PD≥BD．

考点：此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质以及三角形三边之间的关系

点评：本题可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，共线的证明是正确解答的关键．