Question

11．如图1和2，直线MN和线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（1）如图1，试说明AB⊥BD的理由；
（2）如图2，如果AO=BO，试说明AC=BD的理由．
完成下列括号填空：
过点B作BE∥AC交MV于E．
∴∠A=∠EBO（两直线平行，内错角相等）
又AO=BO，∠AOC=∠BOE（对顶角相等）
∴△AOC≌△BOE
∴AC=BE，∠ACO=∠BEO
又∠1+∠ACO=180°，∠BED+∠BEO=180°
∴BED=∠1，又∠1=∠2
∴∠BED=∠2
∴BD=BE（等角对等边）
∴AC=BD．

Answer 1

分析 （1）由对顶角相等得出∠BOD=∠1=45°，再由三角形内角和定理求出∠B=90°，即可得出结论；
（2）过点B作BE∥AC交MV于E．由平行线的性质得出∠A=∠EBO，由ASA证明△AOC≌△BOE，得出AC=BE，∠ACO=∠BEO，由角的互余关系得出∠BED=∠1，证出∠BED=∠2，由等角对等边得出BD=BE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠1=∠2=45°．∴∠BOD=∠1=45°，∴∠B=180°-45°-45°=90°，∴AB⊥BD；
如图1和2，直线MN和线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．
（2）解：过点B作BE∥AC交MV于E．
∴∠A=∠EBO（两直线平行，内错角相等）
又AO=BO，∠AOC=∠BOE（对顶角相等）
∴△AOC≌△BOE（ASA）
∴AC=BE，∠ACO=∠BEO，
又∠1+∠ACO=180°，∠BED+∠BEO=180°
∴∠BED=∠1，又∠1=∠2
∴∠BED=∠2
∴BD=BE（等角对等边）
∴AC=BD．
故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；等角对等边．

点评 本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题（2）的关键．