Question

14．已知方程x²-4x+2=0得两根为α，β，不解方程求下列各式的值．
（1）$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$；（2）α²+4β

Answer 1

分析 由根与系数的关系即可得出α+β=4、α•β=2．
（1）将$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$变形为$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{（αβ）^{2}}$，再代入数据即可得出结论；
（2）将4替换成α+β，展开后再利用配方法即可将α²+4β变形为（α+β）²-αβ，代入数据即可得出结论．

解答 解：∵方程x²-4x+2=0得两根为α，β，
∴α+β=4，α•β=2．
（1）$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$=$\frac{{α}^{2}+{β}^{2}}{{α}^{2}•{β}^{2}}$=$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{（αβ）^{2}}$=$\frac{{4}^{2}-2×2}{{2}^{2}}$=3；
（2）α²+4β=α²+（α+β）•β=α²+β²+αβ=（α+β）²-αβ=4²-2=14．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是：（1）将$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$变形为$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{（αβ）^{2}}$；（2）将α²+4β变形为（α+β）²-αβ．