Question

2．如图，?ABCD中，E为AD的中点，直线BE、CD相交于点F．连接AF、BD．
（1）求证：AB=DF；
（2）若AB=BD，求证：四边形ABDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和已知条件得出∠ABE=∠DFE，AE=DE，由AAS证明△ABE≌△DFE即可证得结论；
（2）由全等三角形的性质得出AB=DF，证出四边形ABDF是平行四边形，再由AB=BD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD．
∵点F在CD的延长线上，
∴FD∥AB．
∴∠ABE=∠DFE．
∵E是AD中点，
∴AE=DE．
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠DFE}\\{∠BEA=∠DEF}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS）
∴AB=DF；

（2）证明：∵△ABE≌△DFE，
∴AB=DF．
∵AB∥DF，AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵AB=BD，
∴四边形ABDF是菱形．

点评 此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质．此题难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．