题目内容
如图（1），正方形ABCD的顶点B、C在双曲线y=
上，另两个顶点在坐标轴上，
（1）设OA=a，OD=b，①请直接写出B、C的坐标（用a、b表示）：B（ ， ），C（ ， ），
②求证：a=b（ ①中结论可直接用 ）；
（2）如图（2），作正方形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，当S正方形BFGH=5时，求k；
（3）如图（3），作矩形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，BH：BF=2：1，当S矩形BFGH=17时，
请直接写出k的值．
| k |
| x |
（1）设OA=a，OD=b，①请直接写出B、C的坐标（用a、b表示）：B（
②求证：a=b（ ①中结论可直接用 ）；
（2）如图（2），作正方形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，当S正方形BFGH=5时，求k；
（3）如图（3），作矩形BFGH，且F在x轴上，H在双曲线上，BH：BF=2：1，当S矩形BFGH=17时，
请直接写出k的值．
考点：反比例函数综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质
专题：综合题
分析：（1）①过点C作CP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图（1），易证△CPD≌△DOA，△DOA≌△AQB，则有PC=OD=AQ=b，PD=OA=BQ=a，就可得到B、C的坐标；②把B、C两点坐标代入y=
，即可证到a=b；
（2）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（2），则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易证△BMF≌△HNB，则有MF=NB=a，从而可得到xH为3a，再根据B、H在双曲线y=
上可求得yH=
，从而有NH=a-
=
．由S正方形BFGH=5可求得BH2=5．在Rt△BNH中根据勾股定理可求得a2=
，由此可求出k的值；
（3）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（3），则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易证△BMF∽△HNB，根据相似三角形的性质可得NB=2MF=2a，从而得到xH为4a，再由B、H在双曲线y=
上可得yH=
，则有NH=a-
=
．由S矩形BFGH=17可得BH2=34．在Rt△BNH中根据勾股定理可求得a2=8，由此可求出k的值．
| k |
| x |
（2）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（2），则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易证△BMF≌△HNB，则有MF=NB=a，从而可得到xH为3a，再根据B、H在双曲线y=
| k |
| x |
| 2a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| 9 |
| 2 |
（3）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（3），则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．易证△BMF∽△HNB，根据相似三角形的性质可得NB=2MF=2a，从而得到xH为4a，再由B、H在双曲线y=
| k |
| x |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
解答：解：（1）①B（a+b，a）、Cb，a+b）．
解题思路：过点C作CP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图（1），
易证△CPD≌△DOA，△DOA≌△AQB，则有PC=OD=AQ=b，PD=OA=BQ=a，
所以B（a+b，a）、Cb，a+b），
故答案为：a+b、a、b、a+b；
②证明：∵B、C在双曲线y=
上，
∴k=a（a+b）=b（a+b）．
∵a+b≠0，
∴a=b；
（2）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（2），
则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
∵四边形BFGH是正方形，
∴BF=BH，∠FBH=90°，
∴∠MBF=180°-90°-∠NBH=90°-∠NBH=∠NHB．
在△BMF和△HNB中，
，
∴△BMF≌△HNB（SAS），
∴MF=NB=a，
∵点B的坐标为（a+b，a）即（2a，a），
∴xH=2a+a=3a，
∵B、H在双曲线y=
上，
∴k=2a2=3a•yH，
∴yH=
，
∴NH=a-
=
．
∵S正方形BFGH=5，
∴BH2=5．
在Rt△BNH中，
BH2=BN2+NH2=a2+（
）2=5．
∴a2=
，
∴k=2a2=9；
（3）k的值为16．
解题思路：设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（3），
则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
易证△BMF∽△HNB，
由MF=a，BH：BF=2：1可得NB=2MF=2a，
则xH=2a+2a=4a，
由B、H在双曲线y=
上可得yH=
，
则有NH=a-
=
．
由S矩形BFGH=17可得BH2=34．
在Rt△BNH中根据勾股定理可求得a2=8，
则k=2a2=16．
解题思路：过点C作CP⊥y轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图（1），
易证△CPD≌△DOA，△DOA≌△AQB，则有PC=OD=AQ=b，PD=OA=BQ=a，
所以B（a+b，a）、Cb，a+b），
故答案为：a+b、a、b、a+b；
②证明：∵B、C在双曲线y=
| k |
| x |
∴k=a（a+b）=b（a+b）．
∵a+b≠0，
∴a=b；
（2）设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（2），
则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
∵四边形BFGH是正方形，
∴BF=BH，∠FBH=90°，
∴∠MBF=180°-90°-∠NBH=90°-∠NBH=∠NHB．
在△BMF和△HNB中，
|
∴△BMF≌△HNB（SAS），
∴MF=NB=a，
∵点B的坐标为（a+b，a）即（2a，a），
∴xH=2a+a=3a，
∵B、H在双曲线y=
| k |
| x |
∴k=2a2=3a•yH，
∴yH=
| 2a |
| 3 |
∴NH=a-
| 2a |
| 3 |
| a |
| 3 |
∵S正方形BFGH=5，
∴BH2=5．
在Rt△BNH中，
BH2=BN2+NH2=a2+（
| a |
| 3 |
∴a2=
| 9 |
| 2 |
∴k=2a2=9；
（3）k的值为16．
解题思路：设过点B平行于x轴的直线与过点F平行于y轴的直线交于点M、与过点H平行于y轴的直线交于点N，如图（3），
则有MF=a，∠FMB=∠BNH=90°．
易证△BMF∽△HNB，
由MF=a，BH：BF=2：1可得NB=2MF=2a，
则xH=2a+2a=4a，
由B、H在双曲线y=
| k |
| x |
| a |
| 2 |
则有NH=a-
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
由S矩形BFGH=17可得BH2=34．
在Rt△BNH中根据勾股定理可求得a2=8，
则k=2a2=16．
点评：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，正方形的性质、矩形的性质等知识，构造K型全等及K型相似是解决本题的关键．
练习册系列答案
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点A（-2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（ ）
| A、（2，-3） |
| B、（-2，-3） |
| C、（-2，3） |
| D、（ 2，3） |
下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（ ）
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下列调查中需要做普查的是（ ）
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