Question

【题目】如图①，直线分别与轴、轴交于点，，抛物线经过，两点，且与轴的另一交点为．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）如图①，点在第三象限内的抛物线上．

①连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

②为轴上一点，当取得最小值时，求点的坐标；

（3）如图②，为轴下方抛物线上任意一点，是抛物线的对称轴与轴的交点，直线，分别交抛物线的对称轴于点，．问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）①，②；（3）DM+DN是定值，定值为8．

【解析】

（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将A、B、C坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①S四边形ABPC=S△BPC+S△ABC=PFOB+ABOC= (-t2-3t)+6=(t+)2+，即可求解；②当GJ=AG时，PG+AG取得最小值，即可求解；

（3）利用，，得，，即，，即可求解．

解：（1）在y=-x-3中，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=-3，

∴B(-3，0)，C(0，-3)．

设抛物线的函数解析式为y=a(x+3)(x-1)，

将点C(0，-3)代入，得a=1，

∴抛物线的函数解析式为y=x2+2x-3；

（2）①如图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，设点P的坐标为(t，t2+2t-3)，则点F的坐标为(t，-t-3)，

∴PF=-t-3-(t2+2t-3)=-t2-3t，

∴S四边形ABPC=S△BPC+S△ABC=PF·OB+AB·OC=(-t2-3t)+6=．

∵<0，

∴当t=时，S四边形ABPC取得最大值，

∴此时点P的坐标为；

②如图②，作点P关于x轴的对称点，交x轴于点I，连接AP，，过点P作PJ⊥于点J，交x轴于点G．当GJ=AG时，PG+AG取得最小值，此时sin∠GAJ=，

∴tan∠GAJ=．

设点P的坐标为（t，t2+2t-3），则PI=-t2-2t+3，AI=-t+1，

由对称的性质，得∠PAI=∠GAJ，

∴tan∠PAI=，即，

解得t1=，t2=1（舍去），

∴此时点P的坐标为；

（3）DM+DN是定值．

解法一：如图③，过点Q作QH⊥x轴于点H．

∵ND⊥x轴，

∴QH∥ND，

∴，，

∴，．

设点Q的坐标为(k，k2+2k-3)，则HQ=-k2-2k+3，BH=3+k，AH=1-k．

∵D是抛物线的对称轴与x轴的交点，

∴AD=BD=2，

∴，，

∴DN=2-2k，DM=2k+6，

∴DM+DN=2k+6+2-2k=8，

∴DM+DN是定值，该定值为8．

解法二：∵抛物线y=x2+2x-3的对称轴为x=-1，

∴D（-1，0），则xM=xN=-1．

设点Q的坐标为(k，k2+2k-3)，

设直线AQ的解析式为y=dx+e，则，解得，

∴直线AQ的解析式为y=(k+3)x-k-3，

当x=-1时，y=-2k-6，

∴DM=2k+6．

设直线BQ的解析式为y=mx+n，则，解得，

∴直线BQ的解析式为y=(k-1)x+3k-3，

当x=-1时，y=2k-2，

∴DN=-2k+2，

∴DM+DN=2k+6+(-2k+2)=8，

∴DM+DN是定值，该定值为8．