Question

7．如图，已知直线y=-x+7与直线y=$\frac{4}{3}$x交于点A，且与x轴交于点B，过点A作AC⊥y轴与点C．点P从O点以每秒1个单位的速度沿折线O-C-A运动到A；点R从B点以相同的速度向O点运动，一个点到终点时，另一个点也随之停止运动．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点R作直线l∥y轴，直线l交线段BA于点Q，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A，P，O，R为顶点的四边形的面积为13？
②是否存在以A、P、R为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立两直线的解析式求出点A的坐标，利用x轴上点的坐标特征，求出点B的坐标；
（2）利用面积的差得出四边形APOR的面积为-$\frac{1}{2}$t+14=13求出t即可；
（3）假设存在，分三种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）∵直线y=-x+7①与直线y=$\frac{4}{3}$x②交于点A，
∴联立①②解得，x=3，y=4，
∴A（3，4），
令y=-x+7中，y=0，得，x=7，
∴B（7，0）；
（2）由运动知，BR=t，
∵过R的直线l∥y轴，且与线段BA相交，
∴0≤t≤4，
∴OR=7-t，
∵AC⊥y轴，
∴OC=4，
∴点P必在线段OC上，
由运动知，OP=t，∴CP=4-t，
①S_{四边形APOR}=S_{四边形ACOB}-S_△ACP-S_△ABR
=$\frac{1}{2}$（AC+OB）×OC-$\frac{1}{2}$AC×CP-$\frac{1}{2}$BR×OC
=$\frac{1}{2}$（3+7）×4-$\frac{1}{2}$×3×（4-t）-$\frac{1}{2}$×t×4
=20-6+$\frac{3}{2}$t-2t
=-$\frac{1}{2}$t+14，
∵以A，P，O，R为顶点的四边形的面积为13，
∴-$\frac{1}{2}$t+14=13，
∴t=2；
②∴P（0，t），R（7-t，0），
∵A（3，4），
∴PA²=9+（t-4）²，PR²=（7-t）²+t²，RA²=（7-t-3）²+16=（t-4）²+16，
假设存在以A、P、R为顶点的三角形是等腰三角形，
∴①当PA=PR时，即：PA²=PR²，
∴9+（t-4）²=（7-t）²+t²，
∴t²-6t+24=0，此方程无解，
②当PA=RA时，即：PA²=RA²，
∴9+（t-4）²=（t-4）²+16，明显，此方程无解，
③当PR=RA时，即：PR²=RA²，
∴（7-t）²+t²=（t-4）²+16，
∴t²-6t+17=0，此方程无解，
∴不存在以A、P、R为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了直线的交点坐标的求法，四边形的面积的计算方法，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题．