Question

3．已知，如图，以△ABC中的AB和AC为斜边，分别向△ABC的外侧作等腰直角三角形△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中点，过点D作DF⊥AB于F，连接FM．（1）如图1，若MF=3，求AC的长；
（2）如图1，求证：MD=ME；
（3）如图2，在△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DE⊥AB于F，连接FM，猜想：△MDE是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理即可解决．
（2）欲证明MD=ME只要证明△DFM≌△MGE即可．
（3）欲证明△EMD是等腰直角三角形，只要证明①EM=MD，可以通过△DFM≌△MGE进行证明，②∠EMD=90°，可以由∠OMD+∠MDO=90°来证明．

解答 （1）解：∵DF⊥AB，DB=DA，
∴AF=BF，
∵BM=MC，
∴FM=$\frac{1}{2}$AC即AC=2FM=6．
（2）证明：如图1中，取AC中点G，连接MG、EG．
∵△ADB、△AEC都是等腰直角三角形，AF=FB，AG=GC，
∴DF=AF=FB，GE=AG=GC，EG⊥AC，
∴∠DFB=∠EGC=90°，
∵AF=BF，BM=MC．AG=GC，
∴FM∥AG，MG∥AF
∴四边形AFGM是平行四边形，
∴FM=AG=GE，MG=AF=DF，∠BFM=∠BAC=∠CGM，
∵∠DFM=∠DFB+∠BFM，∠EGM=∠EGC+∠CGM，
∴∠DFM=∠EGM，
在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE，
∴DM=EM．
（3）△EMD是等腰直角三角形，理由如下，
证明：如图2中，取AC中点G，连接MG、EG，DF交MG于点O．
∵△ADB、△AEC都是等腰直角三角形，AF=FB，AG=GC，
∴DF=AF=FB，GE=AG=GC，EG⊥AC，
∴∠DFB=∠EGC=90°，
∵AF=BF，BM=MC．AG=GC，
∴FM∥AG，MG∥AF
∴四边形AFGM是平行四边形，
∴FM=AG=GE，MG=AF=DF，∠BFM=∠BAC=∠CGM，
∵∠DFM=∠DFB-∠BFM，∠EGM=∠EGC-∠CGM，
∴∠DFM=∠EGM，
在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE
∴DM=EM，∠MDF=∠EMG，
∵AB∥MG，
∴∠MOD=∠BFD=90°，
∴∠OMD+∠MDO=90°，
∴∠EMG+∠OMD=90°，
∴∠EMD=90°，
∴△EMD是等腰直角三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键，属于中考常考题型．