Question

20．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，作EF∥BC交AB于点F，BC=CD，EF=ED．求证：△BCD是等边三角形．

Answer 1

分析 由AD∥BC可判断△ADE∽△CBE，则由相似的性质得$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DE}{BE}$，再证明△BEF∽△BDA得到$\frac{EF}{AD}$=$\frac{BE}{BD}$，由比例性质得$\frac{EF}{BE}$=$\frac{AD}{BD}$，而EF=ED，所以$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AD}{BC}$，即有BD=BC，再加上BC=CD，于是根据等边三角形的判定方法即可得到结论．

解答 证明：∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DE}{BE}$，
∵EF∥BC，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BDA，
∴$\frac{EF}{AD}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{AD}{BD}$，
∵EF=ED，
∴$\frac{ED}{BE}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AD}{BC}$，
∴BD=BC，
∴BC=CD，
∴BD=BC=CD，
∴△BCD是等边三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是利用平行线构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算和判断线段之间的关系．也考查了等边三角形的判定．