Question

6．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DF⊥AB交BC于E，交AC延长线于F，DE=AB，EF=BD，若BE=1，则AF的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过B作BH⊥AB，过E作EH⊥DF，BH，EH交于H，连接AH，HF，得到四边形DBHE是矩形，由矩形的性质得到BH=DE=AB，EH=BD=EF，证得△ABH与△EFH是等腰直角三角形，于是得到∠FHE=∠AHB=45°，HF²=2EF²，AH²=2AB²求出∠AHF=90°，根据勾股定理得到AH²=2DE²=2（BE²-BD²）=2（1-EF²），AF²=AH²+HF²=2（1-EF²）+2EF²=2，等量代换即可得到结论．

解答 解：过B作BH⊥AB，过E作EH⊥DF，BH，EH交于H，连接AH，HF，
∵DF⊥AB，
∴四边形DBHE是矩形，
∴BH=DE=AB，EH=BD=EF，
∴△ABH与△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE=∠AHB=45°，HF²=2EF²，AH²=2AB²
∴∠AHF=90°，
∵DE=AB，
∴AH²=2DE²=2（BE²-BD²）=2（1-EF²），
∴AF²=AH²+HF²=2（1-EF²）+2EF²=2，
∴AF=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．