Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4

2

，∠B=45°，点E、F分别在边BC、CD上移动，且∠AEF始终等于45°，则点E移动过程中，线段AF长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：

分析：由题意易证∠1=∠3，从而得出△ABE∽△ECF；由相似得出比例式，即可得出y是x的二次函数，求出y的最大值即可；当CF最大时，AF最小．

解答：解：设BE=x，CF=y
∵∠AEF=∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∴△ABE∽△ECF；
AB=（4

2

-

2

）÷2×

2

=3，
由（1）得，

BE

CF

=

AB

CE

，即

x

y

=

3

4 2 -x

，
∴y=

1

3

x（4

2

-x）=-

1

3

x²+

4 2

3

x（0＜x＜4

2

）
当x=2

2

即E为BC的中点时，y_max=

8

3

；
又∵当CF最大时，AF最小，
此时DF=DC-CF=3-

8

3

=

1

3

，
作FH⊥AD于H，则FH=DH=

2

6

，
∴AF_min=

AH2+FH2

=

10

6

=

5

3

．

故答案为：

5

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题以及等腰梯形的性质，是一道综合题，难度较大．