Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD平分∠ADC，过点A作AF∥BD，交CD的延长线于点F，若∠F=

1

2

∠C．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当∠BDC=30°，AD=5时，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）由BD平分∠ADC，得∠ADC=2∠BDC．再由AF∥BD，得∠F=∠BDC，则∠ADC=2∠F．根据已知得出∠ADC=∠C．由同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形即可得出结论；
（2）由（1）知∠C=60°，∠BDC=30°，则∠DBC=90°，则求得CD的长．

解答：（1）证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠BDC．
∵AF∥BD，
∴∠F=∠BDC，
∴∠ADC=2∠F．（2分）
又∵∠F=

1

2

∠C，
∴∠ADC=∠C．（3分）
则梯形ABCD是等腰梯形（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）（5分）

（2）解：由（1）知∠C=2∠F=2∠BDC=60°，BC=AD=5，（6分）
在△BCD中，∵∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°．（7分）
则CD=2BC=10即为所求．（8分）

点评：本题考查了等腰梯形的判定以及解直角是三角形，是基础知识要熟练掌握．