题目内容
如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；
（2）当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是，请写出你的猜想（不要求证明）；
（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？证明你的结论；
（4）若已知中的“AB∥CD”改为“AB、CD相交于O”，如图（4），则∠BAP、∠PCD、∠P、∠O之间有什么关系？证明你的结论．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论；
（2）当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是，请写出你的猜想（不要求证明）；
（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？证明你的结论；
（4）若已知中的“AB∥CD”改为“AB、CD相交于O”，如图（4），则∠BAP、∠PCD、∠P、∠O之间有什么关系？证明你的结论．
考点：平行线的性质
专题：
分析：（1）延长AP后通过外角定理可得出结论．
（2）利用外角定理可直接得出答案．
（3）延长BA到E，延长DC到F，利用内角和定理解答．
（4）连接OP，利用三角形的外角定理进行解答．
（2）利用外角定理可直接得出答案．
（3）延长BA到E，延长DC到F，利用内角和定理解答．
（4）连接OP，利用三角形的外角定理进行解答．
解答：
证明：（1）∠P=∠A+∠C，
延长AP交CD与点E．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AEC．
又∵∠APC是△PCE的外角，
∴∠APC=∠C+∠AEC．
∴∠APC=∠A+∠C．
（2）否；∠P=∠C-∠A．
（3）∠P=360°-（∠A+∠C）．
延长BA到E，延长DC到F，
由（1）得∠P=∠PAE+∠PCF．
∵∠PAE=180°-∠PAB，∠PCF=180°-∠PCD，
∴∠P=360°-（∠PAB+∠PCD）．
（4）∠BAP+∠PCD=∠AOD+∠APC．理由如下：
如图，连接OP．
∵∠BAP=∠AOP+∠APO，∠PCD=∠COP+∠CPO，
∴∠BAP+∠PCD=∠AOP+∠APO+∠COP+∠CPO=∠AOD+∠APC，即∠BAP+∠PCD=∠AOD+∠APC．
证明：（1）∠P=∠A+∠C，延长AP交CD与点E．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠AEC．
又∵∠APC是△PCE的外角，
∴∠APC=∠C+∠AEC．
∴∠APC=∠A+∠C．
（2）否；∠P=∠C-∠A．
（3）∠P=360°-（∠A+∠C）．
延长BA到E，延长DC到F，
由（1）得∠P=∠PAE+∠PCF．
∵∠PAE=180°-∠PAB，∠PCF=180°-∠PCD，
∴∠P=360°-（∠PAB+∠PCD）．
（4）∠BAP+∠PCD=∠AOD+∠APC．理由如下：
如图，连接OP．
∵∠BAP=∠AOP+∠APO，∠PCD=∠COP+∠CPO，
∴∠BAP+∠PCD=∠AOP+∠APO+∠COP+∠CPO=∠AOD+∠APC，即∠BAP+∠PCD=∠AOD+∠APC．
点评：本题考查平行线的性质，难度不大，注意图形的变化带来的影响，不要有惯性思维．
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