Question

5．如图．在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与点A、B）重合，DE∥BC，交AC于点E．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
（1）当D是AB中点时，求$\frac{S′}{S}$的值；
（2）设AD=x，$\frac{S′}{S}$=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出△ADE和△CDE的面积相等，再根据平行线得出△ADE∽△ABC，推出$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}$ 把AB=2AD代入求出即可；
（2）求出 $\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{16}$ x²①$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}=\frac{AE}{EC}=\frac{x}{4-x}$ ②，联立①②即可求出函数关系式；y=$\frac{S'}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x，
（3）把函数关系式写成顶点式即可求出结论．

解答 解：（1）∵D为AB中点，
∴AB=2AD，
∵DE∥BC，
∴AE=EC，
∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，
∴S_△ADE=S_△CDE=S₁，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{A{D}^{2}}{A{B}^{2}}=\frac{1}{4}$
∴S′：S=1：4；
（2）∵AB=4，AD=x，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{{x}^{2}}{16}$ ①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
∵AB=4，AD=x，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{x}{4}$，∴$\frac{AE}{CE}=\frac{x}{4-x}$，∵△ADE的边AE上的高和△CED的边CE上的高相等，∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△DEC}}=\frac{AE}{EC}=\frac{x}{4-x}$ ②，
①÷②得：
∴y=$\frac{S'}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x，
∵AB=4，
∴x的取值范围是0＜x＜4；

（3）由（2）知x的取值范围是0＜x＜4，
∴y=$\frac{S'}{S}$=-$\frac{1}{16}$x²+$\frac{1}{4}$x=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴S′≤$\frac{1}{4}$S．
∴S≥4S′，
∴S-4S'≥0，
∴S-4S′的最小值为0．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算方法，二次函数的最值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．