Question

3．如图1，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）（图2，图3为解答备用图）．
（1）k=-3，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将C点坐标代入抛物线解析式可求k的值，由抛物线解析式求A，B两点坐标；
（2）根据A、B、M、N四点坐标，将四边形分割为两个三角形和一个梯形求面积；
（3）只要使△DBC面积最大即可，由此求D点坐标；

解答 解：（1）将C（0，-3）代入抛物线y=x²-2x+k中，得k=-3，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
令y=0，得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故答案为-3，（-1，0），（3，0）；

（2）如图（1），

过M点作MN⊥AB，垂足为N，
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，可知M（1，-4），
∴S_{四边形ABMC}=S_△ACO+S_梯形OCMN+S_△BMN=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×（3-1）×4=9；

（3）存在，如图（2），

设D（m，m²-2m-3），
过D点作DE⊥AB，垂足为E，则
S_{四边形ABDC}=S_△ACO+S_梯形OCDE+S_△BDE
=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×[3-（m²-2m-3）]×m+$\frac{1}{2}$×（3-m）×[-（m²-2m-3）]
=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m+6，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当m=-$\frac{\frac{9}{2}}{-3}$=$\frac{3}{2}$时，S_{四边形ABDC}最大，此时D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，将四边形分割为三角形与梯形的面积和求解，同时考查了坐标系中，线段的垂直关系．