Question

9．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，作∠DAF=∠ACD，交CD延长线于点F．
（1）求证：AF为⊙O的切线；
（2）如果DE=DF，$\frac{DE}{CE}$=$\frac{3}{4}$，AC=8$\sqrt{5}$，求AE的长度．

Answer 1

分析 ①连接BD，根据圆周角性质即可证明∠BAF是直角，即可解题；
②连接BC，根据切线性质得出直角三角形，运用勾股定理即可解题；

解答 解：①连接BD，

∵∠ABD和∠ACD都是$\widehat{AD}$对应的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠ACD=90°，
∵∠DAF=∠ACD，
∴∠DAB+∠DAF=90°，即∠BAF=90°，
∴AF为⊙O的切线；
②连接BC．

设CE=4x，AE=y，则DF=DE=3x，EF=6x
∵AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，
∴∠EAF=90°，∠ACD=∠DAF．
又∵D为Rt△AEF的斜边EF的中点，
∴DA=DE=DF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴∠ACD=∠AFD，
∴AF=AC=8$\sqrt{5}$．
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF²=AE²+AF²，即36x²=y²+320．
设BE=z，由相交弦定理得CE•DE=AE•BE，即yz=4x•3x=12x²，
∴y²+320=3yz…①
又∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED．
又∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠BCE=∠BEC，从而BC=BE=z．
在Rt△ACB中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²，即（y+z）²=320+z²，
∴y²+2yz=320．…②
联立①②，解得y=8，z=16．
∴AE=8．

点评 解决本题的关键是作出辅助线找出直角三角形，考查了勾股定理、切线性质的运用．