Question

14．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0．
（1）则C点的坐标为（2，0）；A点的坐标为（0，4）．
（2）已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S_△ODP=S_△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用绝对值的性质结合二次根式的定义分析得出a，b的值，进而得出答案；
（2）首先得出OP=2-t，QO=2t，D（1，2），再表示出△DOP和△DOQ的面积，进而得出等式求出答案．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0，
∴b-2=0，a-2b=0，
解得：b=2，a=4，
∴C（2，0），A（0，4）；
故答案为：（2，0），（0，4）；

（2）由题意可得：OP=2-t，QO=2t，D（1，2），
则S_△DOP=$\frac{1}{2}$OP•y_D=$\frac{1}{2}$（2-t）×2=2-t，
S_△DOQ=$\frac{1}{2}$OQ•x_D=$\frac{1}{2}$×2t×1=t，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴2-t=t，
∴解得：t=1，
∴OP=1，QO=2，
∴P（1，0），Q（0，2）．

点评 此题主要考查了三角形综合以及三角形面积表示方法，正确表示出OP，QO的长是解题关键．