Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．
（1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,作图—基本作图

专题：

分析：根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据三角形的外角的性质，可得∵∠DAC=∠ABC+∠C，根据内错角相等，可得两直线平行，根据ASA，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论．

解答：解：（1）如图：

（2）AF∥BC且AF=BC
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∵∠DAC=∠ABC+∠C
∴∠DAC=2∠C
由作图可知∠DAC=2∠FAC
∴∠C=∠FAC
∴AF∥BC；
∵E是AC的中点
∴AE=CE．
在△AEF和△CEB中，

∠FAE=∠C AE=CE ∠AEF=∠CEB

∴△AEF≌△CEB （ASA）
∴AF=BC．

点评：本题考查了全等三角形的性质与判定，利用三角形的外角的性质，角平分线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定解题是解题关键．