Question

3．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x²+bx+c与x轴交点为A、B两点．其中点A 的坐标为（-3，0）
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与y轴的交点为C，对称轴与x轴交于D，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴与A点坐标可立即求出B点坐标，再根据A、B两点坐标求出解析式；
（2）分类讨论：①以C为等腰三角形的顶点；②以D为等腰三角形的顶点．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，A（-3，0）为抛物线与x轴的交点，B为另一个交点，
∵B（1，0），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3；
（2）∵D（-1，0），C（0，-3），
∴CD=$\sqrt{10}$，
①若DC=DP，如图1，

此时P点的坐标为：（-1，$\sqrt{10}$）、（-1，$-\sqrt{10}$）；
②若CD=CP，如图2，

此时P点的坐标为：（-1，-6）；
综上所述，满足要求的P点坐标有：（-1，$\sqrt{10}$）、（-1，$-\sqrt{10}$）、（-1，-6）．

点评 本题考查了待定系数法二次函数解析式、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，是一道基础题．第（2）问体现分类讨论的思想，要注意考虑周全．