Question

在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y=x²-6x+

11

4

的图象与直线y=-x所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有

 

个．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：先根据方程组组

y=-x y=x2-6x+ 11 4

得到两函数的交点A、B的坐标，再找出从A到B自变量为整数的个数（1、2、3、4），然后把它们分别代入两函数解析式计算出对应的函数值，于是可写出红色区域内部及其边界上的整点的坐标．

解答：解：y=x²-6x+

11

4

=（x-3）²-

25

4

，顶点坐标为（3，-

25

4

），
解方程组

y=-x y=x2-6x+ 11 4

得

x= 5- 14 2 y= -5+ 14 2

或

x= 5+ 14 2 y= -5- 14 2

，
所以二次函数y=x²-6x+

11

4

的图象与直线y=-x的交点A、B的横坐标分别为

5- 14

2

，

5+ 14

2

），如图，
∵

5- 14

2

≤x≤

5+ 14

2

的整数解为1，2，3，4，
当x=1时，y=-x=-1，y=x²-6x+

11

4

=-

9

4

，则点（1，-1），（1，-2）满足条件；
当x=2时，y=-x=-2，y=x²-6x+

11

4

=-

21

4

，则点（2，-2），（2，-3），（2，-4），（2，-5）满足条件；
当x=3时，y=-x=-3，y=x²-6x+

11

4

=-

25

4

，则点（3，-3），（3，-4），（3，-5），（3，-6）满足条件；
当x=4时，y=-x=-4，y=x²-6x+

11

4

=-

21

4

，则点（4，-4），（4，-5）满足条件．
故答案为12．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

．学会把求两函数图象的交点问题转化为解方程组的问题．