Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若tanA=，AF=6，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：连接OD，由D是的中点得∠1=∠2，又∠A=∠BOC，故∠A=∠1，从而OD∥AF.易证∠EDO=∠F=90°.故可得结论；

（2）设⊙O半径为r,则OA=OD=OB=r.通过解直角三角形可得解.

详解：（1）如图1，连接OD.

∵EF⊥AF,∴∠F=90°.

∵D是的中点,

∴

∴∠1=∠2=∠BOC.

∵∠A=∠BOC, ∴∠A=∠1 .

∴OD∥AF.

∴∠EDO=∠F=90°.

∴OD⊥EF.

∴EF是⊙O的切线.

（2）设⊙O半径为r,则OA=OD=OB=r.

在Rt△AFE中，tanA=，AF=6,

∴EF=AF·tanA=8.

∴.

∴OE=10-r.

∵cosA= ,

∴cos∠1= cos A=

∴r =， 即⊙O的半径为.