Question

17．关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0有两个不等的实数根．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若4是这个方程的一个根，求k的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式即可得出△=（2k-3）²≥0，由此即可证出该方程总有两个实数根；
（2）将x=4代入原方程中找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，再将k值代入原方程中，利用因式分解法解方程即可求出方程的另外一根．

解答 （1）证明：在方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0中，
∵△=[-（2k+1）]²-4×4（k-$\frac{1}{2}$）=4k²-12k+9=（2k-3）²≥0，
∴这个方程总有两个实数根．
（2）解：将x=4代入原方程中，得：16-4×（2k+1）+4（k-$\frac{1}{2}$）=0，
解得：k=$\frac{5}{2}$，
将k=$\frac{5}{2}$代入原方程中，得：x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₁=2，x₂=4．
∴k的值为$\frac{5}{2}$，方程的另一个根为2．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）找出△=（2k-3）²≥0；（2）代入x=4求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程的实数根的个数是关键．