如图.已知一次函数y=-2x+b的图象与x轴.y轴分别交于B.A两点.与反比例函数y=$\frac{4}{x}$交于C.D两点．.则m=2.b=6,的条件下.通过计算判断AC与BD的数量关系,(3)若在一次函数y=-2x+b与反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象第一象限始终有两个交点的前提下.不论b为何值.(2)中AC与BD的数量关系是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，已知一次函数y=-2x+b的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点，与反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）交于C，D两点．
（1）若点D的坐标为（2，m），则m=2，b=6；
（2）在（1）的条件下，通过计算判断AC与BD的数量关系；
（3）若在一次函数y=-2x+b与反比例函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象第一象限始终有两个交点的前提下，不论b为何值，（2）中AC与BD的数量关系是否恒成立？试说明理由．

分析（1）把D点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值，再代入一次函数解析式则可求得b的值；
（2）联立两函数解析式可求得C、D的坐标，过C、D分别作CG⊥OA，DH⊥OB，可证得△AGC≌△DHB，可证得AC=BD；
（3）联立两函数解析式消去y可得到2x²-bx+4=0，由根与系数的关系可求x_C+x_D=$\frac{b}{2}$=OB，可求得CG=HB，同（2）可证得△AGC≌△DHB，可得AC=DB．

解答解：
（1）∵D点在反比例函数图象上，
∴2m=4，解得m=2，
∴D（2，2）
∵D点在一次函数图象上，
∴2=-2×2+b，解得b=6，
故答案为：2；6；

（2）相等．
联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，4），D（2，2），
如图，作CG⊥OA，DH⊥OB，

在y=-2x+6中，令x=0可得y=6，
∴AO=6，
∴AG=AO-OG=2=DH，
∵CG∥OB，
∴∠ACG=∠DBH，
在△AGC和△DHB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠DHB}\\{∠ACG=∠DBH}\\{AG=DH}\end{array}\right.$
∴△AGC≌△DHB（AAS），
∴AC=BD；

（3）恒成立．理由如下：
联立两函数解析式，消去y可得2x²-bx+4=0，
∴x_C+x_D=CG+OH=$\frac{b}{2}$，
在y=-2x+b中，令y=0可求得x=$\frac{b}{2}$，
∴OB=$\frac{b}{2}$，
∴CG+OH=OB，
∴CG=HB，
同（2）可得△AGC≌△DHB，
∴AC=BD．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、全等三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系等知识．在（1）中注意函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，在（2）中求得AG=DH，证得△ACG≌△DHB是解题的关键，在（3）中求得CG=HB是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．