Question

10．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：y=-$\frac{1}{2}$x-6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y=-x²+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求$\frac{1}{2}$AM+CM它的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM=$\frac{1}{2}$AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-4，-4），B（0，4）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=-4}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+4；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{-4k+n=-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，-m²-2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG=OB=4，
∴-（-m²-2m+4-2m-4）=4，
∴m=-2
∴G（-2，4）．

（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y=-$\frac{1}{2}$x-6，
∴F（a，-$\frac{1}{2}$a-6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=-$\frac{1}{2}$x-6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴$\frac{1}{2}$（-4+0）=$\frac{1}{2}$（a+a），$\frac{1}{2}$（-4+p）=$\frac{1}{2}$（2a+4-$\frac{1}{2}$a-6），
∴a=-2，P=-1，
∴E（-2，0）．H（0，-1）；

②如图2，
由①知，E（-2，0），H（0，-1），A（-4，-4），
∴EH=$\sqrt{5}$，AE=2$\sqrt{5}$，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，
∴PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM=EH=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PE}{ME}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{ME}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PE}{ME}=\frac{ME}{AE}$=$\frac{1}{2}$，∵∠PEM=∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{ME}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴PM=$\frac{1}{2}$AM，
∴$\frac{1}{2}$AM+CM的最小值=PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（-2，0），
∴PE²=（p+2）²+（2p+4）²=5（p+2）²，
∵PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴5（p+2）²=$\frac{5}{4}$，
∴p=-$\frac{5}{2}$或p=-$\frac{3}{2}$（由于E（-2，0），所以舍去），
∴P（-$\frac{5}{2}$，-1），
∵C（0，-6），
∴PC=$\sqrt{（-\frac{5}{2}）^{2}+（-1+6）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
即：$\frac{1}{2}$AM+CM=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．