Question

2．如图，AB是⊙O的弦，∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，m是过圆心O的一条直线，并绕点O做顺时针旋转运动，分别交圆于D、E两点．
（1）当∠AOE=40°时，求∠BOD的度数；
（2）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠A=∠B=30°，求得出∠AOB=120°，得出∠BOC=∠AOB-∠AOE=80°，再由平角的定义即可求出∠BOD的度数；
（2）直线m在旋转过程中，∠DAC，∠DCA=30°时，均不满足题意（不能构成三角形），两个三角形相似时，有∠ADC=30°，得出∠AOE=60°，证出OE⊥AB，由垂径定理得出AC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，由∠ADC=∠B=30°，∠ACD=∠OCB=90°，得出△ACD∽△OCB．

解答 解：（1）∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOE=120°-40°=80°，
∴∠BOD=180°-∠BOC=100°；
（2）当AC=$\sqrt{3}$时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似；理由如下：
∵∠B=30°，直线m在旋转过程中，∠DAC，∠DCA=30°时，均不满足题意（不能构成三角形），
∴两个三角形相似时，有∠ADC=30°，
∴∠AOE=60°，
∴OE是∠AOE的平分线，
∴OE⊥AB，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵∠ADC=∠B=30°，∠ACD=∠OCB=90°，
∴△ACD∽△OCB．

点评 本题考查了相似三角形的判定方法、圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理等知识；本题综合性强，有一定难度，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．