Question

【题目】如图，在梯形中，， 是腰上一个动点(不含点)，作交于点(如图1)

求:（1）BC的长和梯形的面积；

（2）当时，求的长；(如图2)

（3）设试求出关于的函数解析式，并写出定义域

Answer 1

【答案】（1），；；（2）；（3），

定义域为()

【解析】

（1）过B作BH⊥CD于H，在Rt△BHC中，根据BH（即AD）的长及∠C的正切值，可求得CH的长，进而可根据勾股定理求得BC的长；得到CH的长，由CD=DH+CH=AB+CH即可得到CD的长，根据梯形的面积公式可求出梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，连接AQ，易证得△ADQ≌△APQ，则AD=AP=4；过P作PE⊥AB于E，不难得出∠C=∠PBE；可根据∠PBE的正切值，用未知数表示出BE、PE的长，进而在Rt△APE中，由勾股定理求得未知数的值，进而可在Rt△BPE中求出BP的长；
（3）过P作PF⊥CD于F，由于∠APQ=90°，易证得△AEP∽△PFQ，根据得到的比例线段即可用表示出QF的长，进而可在Rt△PFC中，根据∠C的正切值用表示出CF的长；由CQ=QF+CF即可得到的函数关系式．

（1）作BH⊥CD，垂足为H，

则四边形ABHD为矩形；
∴BH=DA=4，DH=AB=2；
在Rt△BCH中，，
∴，

∴；

又CD=CH+DH=5，
∴；

（2）连接AQ，
由DQ=PQ，可知△ADQ≌△APQ，AP=AD=4；
作PE⊥AB交AB的延长线于点E，
在Rt△BPE中，，

令BE=3k，PE=4k，
则在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，
即，解得：，

∴；

（3）作PF⊥CD交CD于点F，

∵，

由(2)得：，，，

∴，，，，
由∠AEF=∠EFD=∠APQ=90°，

∴∠APE+∠PAE=90°，∠APE +∠QPF=90°，

∴∠PAE=∠QPF，
∴△AEP∽△PFQ；

∴，即，

化简得：，

又，

∴；

定义域为() ．