Question

15．已知二次函数y=-（a+b）x²-2cx+a-b中，a、b、c是△ABC的三边．
（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，判断△ABC是什么形状；
（2）当x=-$\frac{1}{2}$时，该函数有最大值$\frac{a}{2}$，判断△ABC是什么形状．

Answer 1

分析 （1）由题意得出△=0，得出c²+a²=b²，由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形即可；
（2）由x=-$\frac{1}{2}$时函数有最大值为$\frac{a}{2}$，可知顶点的横坐标为-$\frac{1}{2}$，纵坐标为$\frac{a}{2}$，根据顶点坐标公式列方程求解即可．

解答 解：（1）当抛物线与x轴只有一个交点时，△ABC是直角三角形；理由如下：
当抛物线与x轴只有一个交点时，△=0，
即（-2c）²-4×[-（a+b]（a-b）=0，
整理得c²+a²=b²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）△ABC是等边三角形；理由如下：
根据题意得：-$\frac{2c}{2（a+b）}$=-$\frac{1}{2}$，即c=$\frac{a+b}{2}$时，
有 $\frac{-4（a+b）（a-b）-（-2c）^{2}}{-4（a+b）}$=$\frac{a}{2}$，
整理，得2b²-a²-2c²+ab=0，
将c=$\frac{a+b}{2}$代入，得a²=b²，
∵a＞0，b＞0，
∴a=b=c，
即△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点特征、判别式的运用、二次函数的最值、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定等知识；熟练掌握二次函数的综合运用是解决问题的关键，本题综合性强，难度适中．