Question

2．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，∠A=∠BPD
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）由△PCD为等边三角形，得到三内角为60°，进而得到∠ACP=∠PDB=120°，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）根据相似三角形对应角相等得到∠APC=∠B，再利用外角性质求出所求角度数即可．

解答 （1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵∠A=∠BPD，
∴△ACP∽△PDB；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠B，
∵∠PDC为△PBD的外角，
∴∠PDC=∠B+∠BPD=∠APC+∠BPD=60°，
则∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=120°．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．