Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA，则k的值为（　　）

• A． 1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -1
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，如图，设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），可得ab=1，OD=a，AD=b，k=cd，OC=-c，BC=d．易证△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性质可得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD，则有-c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，从而可求出k的值．

解答 解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
则有∠ADO=∠OCB=90°．
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵第一象限的点A在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴ab=2，a＞0，b＞0，
∴OD=a，AD=b．
∵第二象限内的点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=cd，c＜0，d＞0，
∴OC=-c，BC=d．
∵OA丄OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠DOA=90°-∠COB=∠CBO，
∴△OCB∽△ADO，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{BC}{OD}$=$\frac{OB}{OA}$．
∵OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OA，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OD，
∴-c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴k=cd=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b•$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=-$\frac{1}{2}$ab=-$\frac{1}{2}$×2=-1，
∴k=-1，
故选：C．

点评 本题主要考查了反比例函数的坐标特征、相似三角形的判定与性质，构造K型相似是解决本题的关键．