Question

12．如图，已知直线y=4-x与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点．
（1）如果点A的横坐标为1，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）条件下，求△AOB的面积；
（3）如果点P（1，0），是否存在以AB为直径的圆经过点P？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线y=4-x过A点，把x=1代入y=4-x中得y=3，求得A（1，3），然后根据反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0）过A点，把A点的坐标代入即可；
（2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后用△DOC的面积-△AOD的面积-△BOC的面积即可求解；
（3）点A、B在直线y=4-x上，则可设A（a，4-a），B（b，4-b）；以AB为直径的圆经过点P（1，0），则由圆周角定理得∠APB=90°，易证Rt△ADP∽Rt△PEB，列比例式求得a、b的关系式为：5（a+b）-2ab=17 ①；而点A、B又在双曲线上，可推出a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的两个根，得a+b=4，ab=m，代入①式求出m的值．

解答 解：（1）∵直线y=4-x过A点，
∴把x=1代入y=4-x中得y=3，
∴A（1，3），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0，x＞0）过A点，
∴3=m，
∴反比例函数的解析式：y=$\frac{3}{x}$；

（2）将y=4-x代入反比例函数解析式得：4-x=$\frac{3}{x}$，
解得：x₁=1，x₂=3，
则点B的坐标为（3，1），
∵点C坐标为（4，0），点D的坐标为（0，4），
∴S_△AOB=S_△COD-S_△AOD-S_△BOC=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×4×1-$\frac{1}{2}$×4×1=4，
即△AOB的面积为4；

（3）存在．
点A、B在直线y=4-x上，则可设A（a，4-a），B（b，4-b）．
如右图所示，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=4-a，PD=1-a；
过点B作BE⊥x轴于点E，则BE=4-b，PE=b-1．
∵点P在以AB为直径的圆上，
∴∠APB=90°（圆周角定理）．
易证Rt△ADP∽Rt△PEB，
∴$\frac{AD}{PE}$=$\frac{PD}{BE}$，即$\frac{4-a}{b-1}$=$\frac{1-a}{4-b}$，
整理得：5（a+b）-2ab=17①，
∵点A、B在双曲线y=$\frac{m}{x}$上，
∴a（4-a）=m，b（4-b）=m，
∴a²-4a+m=0，b²-4b+m=0，
∴a、b是一元二次方程x²-4x+m=0的两个根，
∴a+b=4，ab=m．
代入①式得：5×4-2m=17，
解得：m=$\frac{3}{2}$．
∴存在以AB为直径的圆经过点P（1，0），此时m=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查反比例函数的综合题，涉及了根据函数的解析式求点的坐标以及待定系数法求函数的解析式，解答本题的关键是熟练反比例函数和一次函数的性质，解答本题（3）问的时候一定注意三点构成圆的条件，此题难度较大．