Question

15．如图，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90^?，求：
（1）A、B、C三点的坐标．
（2）四边形AOBC的面积．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0、y=0代入一次函数解析式求出与之对应的y、x的值，由此即可得出点B、A的坐标，进而得出AO、BO的长度，再由△ABC为等腰直角三角形结合角的计算即可得出∠ABO=∠CAD、AC=AB，利用AAS即可证出△AOB≌△CDA，根据边与边之间的关系即可得出点C的坐标；
（2）利用勾股定理可求出AB的长度，由S_{四边形AOBC}=S_△AOB+S_△ABC结合三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
∴点B（0，3）；
当y=-$\frac{3}{4}$x+3=0时，x=4，
∴点A（4，0），
∴AO=4，BO=3．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°．
过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示．
∵∠BAO+∠BAC+∠CAD=180°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠CAD．
在△AOB和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠D=90°}\\{∠ABO=∠CAD}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴CD=AO=4，DA=OB=3，
∴OD=AO+DA=7．
∴点C的坐标为（7，4）．
（2）在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5．
S_{四边形AOBC}=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$AO•BO+$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{37}{2}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键：（1）利用AAS证出△AOB≌△CDA；（2）将四边形AOBC分成两个直角三角形．