Question

5．已知，点O到△ABC的两边AB、AC所在的直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图（1）所示，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
（2）如图（2）所示，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC．
（3）若点O在△ABC的外部，结论“AB=AC”还成立吗？成立（只要填“成立”或“不成立”，不需证明过程．）

Answer 1

分析 （1）如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．只要证明Rt△OEB≌Rt△OFC，推出BE=CF，Rt△AOE≌Rt△AOF，推出AE=AF，即可证明．
（2）结论仍然成立．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．方法类似（1）．
（3）结论仍然成立．作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．方法类似（1）．

解答 （1）证明：如图1中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．

∵OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∴∠OEB=∠OFC=90°，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{BO=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴BE=CF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），
∴AE=AF，
∴BE+AE=CF+AF，即AB=AC．
（2）证明：如图2中，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO．

∵OE⊥AB，OF⊥AC，OE=OF，
∴∠OEB=∠OFC=90°，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{BO=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴BE=CF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），
∴AE=AF，
∴BE+AE=CF+AF，即AB=AC．

（3）解：结论不一定成立．如图3中．AB≠AC′

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、线段的和差定义等知识，解题的关键是利用HL判定两个三角形全等，属于中考常考题型．