Question

2．四边形OABC在图1中的直角坐标系中，且OC在y轴上，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（18，0），B（12，8），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动．动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．

（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；
（2）如图2，线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F，PF=AO．当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程；
（3）如图3，过B作BG⊥OA于点G，过点A作AT⊥x轴于点A，延长CB交AT于点T．将点G折叠，折痕交边AG、BG于点M、N，使得点G折叠后落在AT边上的点为G′，求AG′的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由梯形的性质得出当PA=BQ时，四边形PABQ是平行四边形，BQ=t，OP=2t，得出方程，解方程即可；
（2）过Q作QH⊥OF于H，①当FP=FQ时，求出CQ=OH=12-t，PH=12-3t，得出FH=3t+6，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当PF=PQ时，PQ=PF=18，在Rt△PQH中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
③当PQ=FQ时，PH=FH，得出方程12-3t=6+3t，解方程即可；
（3）当折痕经过点A时，AG=AG′=6，此时AG′为最大值；当折痕经过点B，另一点在AG上时AG′最小，此时，BG=BG′=8，在Rt△BG′T中，由勾股定理求出TG′，得出AG′=8-2$\sqrt{7}$即可．

解答 解：（1）∵OA∥BC，
∴PA∥BQ，
当PA=BQ时，四边形PABQ是平行四边形，BQ=t，OP=2t，
∵A（18，0），
∴PA=18-2t，
∴t=18-2t，
解得：t=6，
∴当t为6时，四边形PABQ是平行四边形；
（2）过Q作QH⊥OF于H，如图1所示：
分三种情况：
①当FP=FQ时，
∵PF=AO=18，
∴FQ=18，BQ=t，
∴CQ=OH=12-t，
∴PH=12-3t，
∴FH=3t+6，
在Rt△QHF中，由勾股定理得：QH²+FH²=FQ²，
∴8²+（3t+6）²=18²，
解得：t₁=$\frac{2\sqrt{65}-6}{3}$，t₂=$\frac{-2\sqrt{65}-6}{3}$（不合题意舍去）；
②当PF=PQ时，PQ=PF=18，
在Rt△PQH中，由勾股定理得：PQ²=PH²+QH²，
∴（12-3t）²+8²=18²，
解得：t₁=$\frac{12+2\sqrt{65}}{3}$，t₂=$\frac{12-2\sqrt{65}}{3}$（不合题意舍去）；
③当PQ=FQ时，PH=FH，
∴12-3t=6+3t，
解得：t=1；
综上所述，当t=1或t=$\frac{12+2\sqrt{65}}{3}$或t=$\frac{2\sqrt{65}-6}{3}$时，△PQF是等腰三角形；
（3）当折痕经过点A时，如图2所示：
AG=AG′=6，此时AG′为最大值；
当折痕经过点B，另一点在AG上时AG′最小，如图3所示：
此时，BG=BG′=8，
∵BT=6，
∴在Rt△BG′T中，TG′=$\sqrt{BG{′}^{2}-B{T}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AG′=8-2$\sqrt{7}$；
综上所述：AG′的最大值与最小值分别是6，8-2$\sqrt{7}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定、矩形的性质、折叠的性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线才能得出结果．