Question

12．请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
已知：如图1，△ABC中，AD是角平分线，求证：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
分析：要证$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似．现在B、D、C在一直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比．
在比例式$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的第四比例项AE，这样，证明$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$就可以转化为证AE=AC．
（1）证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．（完成以下证明过程）
∴AE=AC（等腰三角形的判定定理）
∴△BAD∽△BEC，∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{BE}$（相似三角形的性质）∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
（2）用三角形内角平分线性质定理解答问题：
已知：如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．
求：BD的长．

Answer 1

分析 （1）对角平分线定理的证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，则根据平行线的性质得到∠1=∠E，∠2=∠3，加上∠1=∠2，则∠E=∠3，于是根据等腰三角形的判定定理得到AE=AC，再证明△BAD∽△BEC，根据相似的性质得$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BA}{BE}$，然后用比例得性质易得$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$；
（2）根据角平分线定理得到$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{BD}{7-BD}$=$\frac{5}{4}$，然后利用比例性质求解．

解答 （1）证明：∵CE∥DA，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠E=∠3，
∴AE=AC，
∵CE∥AD，
∴△BAD∽△BEC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{BA}{BE}$，
∴$\frac{BD}{BC-BD}$=$\frac{BA}{BE-BA}$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$；
故答案为等腰三角形的判定定理；相似三角形的性质；
（2）解：∵AD是角平分线，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{BD}{7-BD}$=$\frac{5}{4}$，
∴BD=$\frac{35}{9}$（cm）．

点评 本题考查了相似三角形的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质，会利用相似比计算几何计算；本题证明了角平分线性质定理和此定理的运用．