题目内容
20．
如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B（-2，0）、C（8，0）两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC、AB．（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并加以说明；
（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点P是抛物线上的动点，则能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有5个．
分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据解析式求得A的坐标，根据勾股定理求得AB、AC、BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形；
（3）分类讨论：当CD=DE时，当EC=DE时，当CD=CE时，根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
（4）分三种情况讨论即可求得．
解答 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于B（-2，0）、C（8，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4；
（2）令x=0，则y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=4，
∴A（0，4），
∵B（-2，0）、C（8，0），
∴AB2=42+22=20，AC2=82+42=80，BC2=（8+2）2=100，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）在线段BC上是存在点E，使得△CDE为等腰三角形，
由二次函数y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4知对称轴x=3，
∴D（3，0）．
∵C（8，0），
∴CD=5．
设AC的解析式为y=kx+b，
将A、C点坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4．
E在线段AC上，设E点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+4）．
①当CD=DE时，即（m-3）2+（-$\frac{1}{2}$m+4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合题意舍去），
当m=0时，-$\frac{1}{2}$m+4=4，
∴E1（0，4）；
②当EC=DE时，（m-8）2+（-$\frac{1}{2}$m+4）2=（m-3）2+（-$\frac{1}{2}$m+4）2，解得m3=$\frac{11}{2}$，
当m=$\frac{11}{2}$时，-$\frac{1}{2}$m+4=$\frac{5}{4}$，
∴E2（$\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
③当CD=CE时，（m-8）2+（-$\frac{1}{2}$m+4）2=25，解得m4=8+2$\sqrt{5}$，m5=8-2$\sqrt{5}$（不符合题意舍），
当m=8+2$\sqrt{5}$时，-$\frac{1}{2}$m+4=-$\sqrt{5}$，即E3（8+2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）；
综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E1（0，-4）； E2（$\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）；E3（8+2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）．
（4）①当CD是等腰三角形的底时，线段CD的垂直平分线与抛物线的一个交点即为P点；
②当CP为底时，以D为圆心，以5为半径的圆与抛物线的4个交点中的2个（除去B、C点）即为所求的P点；
③当PD为底时，以C为圆心，以5为半径的圆与抛物线的2个交点即为P点；
故能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有5个．
故答案为5．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
阶梯计算系列答案| A． | 40° | B． | 140° | C． | 40°和50° | D． | 40°或140° |