Question

6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2．
（1）求⊙O的直径AE的长；
（2）求EC的长．

Answer 1

分析 （1）先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE=2r；
（2）连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．

解答 解：（1）∵OD⊥弦AB，AB=8，
∴AC=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8$=4，
设⊙O的半径OA=r，
∴OC=OD-CD=r-2，
在Rt△OAC中，
r²=（r-2）²+4²，
解得：r=5，
∴AE=2r=10；

（2）连结BE，如图，
∵OD=5，CD=2，
∴OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{{CB}^{2}{+BE}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．