Question

7．已知抛物线y=2（k+1）x²+4kx+2k-3，求：
（1）k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；
（3）k为何值时，抛物线与x轴没有交点．

Answer 1

分析 （1）当判别式△=b²-4ac＞0时，且2（k+1）≠0时，抛物线y=2（k+1）x²+4kx+2k-3与x轴有两个交点，解不等式组即可求出k的取值范围；
（2）当判别式△=b²-4ac=0时，且2（k+1）≠0时，抛物线y=2（k+1）x²+4kx+2k-3与x轴有唯一交点，解方程与不等式即可求出k的取值范围；
（3）当判别式△=b²-4ac＜0时，且2（k+1）≠0时，抛物线y=2（k+1）x²+4kx+2k-3与x轴没有交点，解不等式组即可求出k的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=2（k+1）x²+4kx+2k-3与x轴有两个交点，
∴△＞0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）²-4×2（k+1）（2k-3）＞0且k≠-1，
整理得，k+3＞0，
解得，k＞-3且k≠-1．
故k＞-3且k≠-1时，抛物线与x轴有两个交点；

（2）∵抛物线与x轴有唯一交点，
∴△=0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）²-4×2（k+1）（2k-3）=0且k≠-1，
整理得，k+3=0，
解得，k=-3．
故k=-3时，抛物线与x轴有唯一交点；

（3）∵抛物线与x轴无交点，
∴△＜0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）²-4×2（k+1）（2k-3）＜0，且k≠-1，
整理得，k+3＜0，
解得，k＜-3．
故k＜-3时，抛物线与x轴没有交点．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．